MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA - QUÂNTICA TENSORIAL DIMENSIONAL RELATIVSTA DE CAMPOS [1.612]

$MECÂNICA GRACELI GENERALIZADA$

$G$ $\lambda$ $\psi ^{*}$ ${\frac {h}{m_{e}c}}$ $G$ $T_{\mu \nu }$ $[$ $\Delta L=\alpha \cdot L_{0}\cdot \Delta T$ ]

$[$ $\mu _{\mathrm {B} }\,$ $,$ ] $T_{\mu \nu }$

$* ψ / [/] * / [] [) [,] /] / [] . = * * ψ * / [[] [] [)] /] . = * /]]) [[]] [] * ψ] /] . =$

$G$ $* ψ] /] . =$

$G$ $* ψ] / . =$

$G$

\Delta L=\alpha \cdot L_{0}\cdot \Delta T,

.] $T_{\mu \nu }$

$G$

\Delta S=\beta \cdot S_{0}\cdot \Delta T

] $* ψ] /] . =$

$G$

$G$ $\lambda$

G=A\sigma /L

] $T_{\mu \nu }$

$G$

O magnetão de Bohr, referido em alguns textos como magneton de Bohr, (símbolo $\mu _{\mathrm {B} }\,$ ) é uma constante física relacionada com o momento magnético que recebe seu nome do físico Niels Bohr. Pode ser expresso em térmos de outras constantes elementares como:

\mu _{\mathrm {B} }={{e\hbar } \over {2m_{\mathrm {e} }}}

onde:

e\,

é a carga elementar,

\hbar

é a constante de Planck reduzida,

m_{\mathrm {e} }\,

é a massa em repouso do elétron

No sistema internacional de unidades se valor é aproximadamente:

\mu _{\mathrm {B} }\,

= 9,274 008 99(37)·10-24 J·T-1

No sistema CGS de unidades seu valor é aproximadamente:

\mu _{\mathrm {B} }\,

= 9,274 008 99(37)·10-21 erg·G-1

$m\ \$ é a massa da partícula.
$q\ \$ é a carga da partícula.
${\vec {\sigma }}\ \$ é um vetor de três componentes do dois-por-dois das matrizes de Pauli. Isto significa que cada componente do vetor é uma matriz de Pauli.
${\vec {p}}\ \$ é o vetor de três componentes da dinâmica dos operadores. Os componentes desses vetores são: $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$
${\vec {A}}\ \$ é o vetor de três componentes do potencial magnético.
$\phi \ \$ é o potencial escalar elétrico.

[

q\ \

{\vec {\sigma }}\ \

{\vec {A}}\ \

\phi \ \

]

Dilatação térmica é o aumento das dimensões de um corpo ocasionado pelo aumento de sua temperatura, o que causa o aumento no grau de agitação de suas moléculas e consequentemente aumento na distância média entre estas. A dilatação ocorre de forma mais significativa nos gases, de forma intermediária nos líquidos e de forma menos explícita nos sólidos, podendo-se afirmar que:

Dilatação nos gases > Dilatação nos líquidos > Dilatação nos sólidos.

Experimentos podem ser usados para mostrar a dilatação de forma mais evidente, como o identificado na figura, que consiste de uma esfera, um anel, uma haste e uma vela. A esfera, quando em temperatura ambiente, passa facilmente pelo orifício, quando aquecemos a mesma, ela sofre expansão térmica, não passando mais pelo anel. Podemos chegar ao mesmo resultado, mantendo a temperatura da esfera e resfriando o anel, que por sua vez comprime, impossibilitando a passagem da esfera.

Coeficiente de dilatação térmica $\alpha$

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Equação genérica: materiais isotrópicos

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Nos materiais isotrópicos pode-se calcular a variação de comprimento, e consequentemente de área e volume, em função da variação de temperatura:

$\Delta L=\alpha \cdot L_{0}\cdot \Delta T$

$\Delta L:\$ variação do comprimento;
$\alpha :\$ coeficiente de dilatação linear;
$L_{0}:\$ comprimento inicial;
$\Delta T=T-T_{0}:\$ variação de temperatura.

Tensor de dilatação térmica: materiais anisotrópicos

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Os materiais cristalinos não cúbicos apresentam uma dilatação anisotrópica:o seu coeficiente de dilatação $\alpha \,$ varia com a direção. Para descrever a sua dilatação recorre-se a um tensor simétrico de ordem 2:

{\begin{bmatrix}\alpha _{11}&\alpha _{12}&\alpha _{13}\\\alpha _{21}=\alpha _{12}&\alpha _{22}&\alpha _{23}\\\alpha _{31}=\alpha _{13}&\alpha _{32}=\alpha _{23}&\alpha _{33}\end{bmatrix}}

Por exemplo, para uma rede triclínica é necessário conhecer seis coeficientes de dilatação ortogonais, que não têm necessariamente que coincidir com os eixos do cristal.

Os valores próprios do tensor de dilatação térmica ou coeficientes de dilatação linear principais $\alpha _{1}\,$ , $\alpha _{2}\,$ e $\alpha _{3}\,$ , permitem obter o coeficiente de dilatação volúmica traço do tensor: $\beta =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}=\alpha _{11}+\alpha _{22}+\alpha _{33}\,$

Tipos de Dilatação

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Quanto à dilatação dos corpos, esta é de três tipos.

Dilatação linear

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Na dilatação linear (uma dimensão), considera-se uma das dimensões do sólido: o comprimento. Uma barra aumenta linearmente. As barras dos trilhos ferroviários são feitas com um espaçamento para a dilatação não envergarem com ganho de calor, ou retraírem com a queda da temperatura. Vale lembrar também que a dilatação não é um fenômeno visível, variando de acordo com o material e a temperatura. A dilatação linear é apenas teórica, sendo que para que algo exista este deve ser tridimensional. A matéria dilata-se em três dimensões, mas como não é possível calcular essa dilatação, adota-se somente o calculo da dilatação linear. O coeficiente de dilatação linear ( $\alpha$ ) é constante em apenas alguns intervalos de temperaturas, por isso seus valores tabelados são obtidos por médias de temperaturas.

Trilhos de trem envergados por dilatação térmica.^[1]

$\Delta L=\alpha \cdot L_{0}\cdot \Delta T,$ onde:

$\Delta L$ é a variação do comprimento do corpo que sofreu a dilatação linear em metros ( $�$ );
$\alpha$ é o coeficiente de dilatação linear do material que constitui o corpo em grau Celsius recíproco ( $^{\circ }C^{-1}$ );
$L_{0}$ é o comprimento inicial da superfície do corpo em metros ( $�$ );
$\Delta T$ é a variação de temperatura sofrida pelo corpo em grau Celsius ( $^{\circ }C$ ).

Dilatação do vazio

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Para avaliar o comportamento de uma chapa metálica com um orifício no centro, podemos avaliar o sistema separadamente, pensando que os objetos são formados por moléculas, e quando aquecidas, estas se agitam, aumentando a distância de uma para as outras. Logo, as moléculas da borda do furo devem obedecer a este princípio, como a única maneira disso ocorrer é no sentido da placa, o perímetro do círculo acaba aumentando. Basicamente é conveniente saber que o espaço vazio sofre expansão da mesma forma que sofreria se estivesse preenchido.^[2]

Dilatação superficial

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Na dilatação superficial (superfície = área, logo, neste caso temos duas dimensões). A dilatação do comprimento e da largura de uma chapa de aço é superficial. Se um disco ou chapa com um furo central dilatar, o tamanho do furo e da chapa aumentam simultaneamente. Ou seja, é aquela em que predomina a variação em duas dimensões, isto é, a variação da área.

$\Delta S=\beta \cdot S_{0}\cdot \Delta T$ , onde:

$\Delta S$ é a variação da área superficial do corpo que sofreu a dilatação linear em metros quadrados ( $m^{2}$ );
$\beta$ é o coeficiente de dilatação superficial do material que constitui o corpo em grau Celsius recíproco ( $^{\circ }C^{-1}$ ). É importante destacar que $\beta =2\alpha$
$S_{0}$ é a área inicial da superfície do corpo em metros quadrados ( $m^{2}$ );
$\Delta T$ é a variação de temperatura sofrida pelo corpo em grau Celsius ( $^{\circ }C$ ).

Dilatação volumétrica

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Na dilatação volumétrica calcula-se a variação do volume, logo, avaliamos três dimensões. A dilatação de um líquido ou de um gás é volumétrica. O coeficiente de dilatação volumétrica ( $\gamma$ ) é dado da seguinte forma: Coeficiente de dilatação linear multiplicado por três, tal procedimento é explicado pelo fato de que quando calculamos um volume levamos em conta as três dimensões (altura, largura e comprimento).

$\Delta V=\gamma \cdot V_{0}\cdot \Delta T$ , onde:

$\Delta V$ é a variação do volume do corpo que sofreu a dilatação linear em metros cúbicos ( $m^{3}$ );
$\gamma$ é o coeficiente de dilatação volumétrico do material que constitui o corpo em grau Celsius recíproco ( $^{\circ }C^{-1}$ ). É importante salientar que $\gamma =3\alpha$ ;
$V_{0}$ é o volume inicial da superfície do corpo em metros cúbicos ( $m^{3}$ );
$\Delta T$ é a variação de temperatura sofrida pelo corpo em grau Celsius ( $^{\circ }C$ ).

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